三角函数知识全集

作者:  艺术剪     2022-01-30

  三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
  

由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示):

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式:

·平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系:

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数:

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式:

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

·倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式:

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式:

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他:

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
  

·三角函数作为微分方程的解:

对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。
  

特殊三角函数值

a 0` 30` 45` 60` 90`

sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tana 0 √3/3 1 √3 None

cota None √3 1 √3/3 0

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+。
  。。+cnxn+。。。=∑cnxn (n=0。。∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+。。。+cn(x-a)n+。。。=∑cn(x-a)n (n=0。。∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,。。。cn。。
  。及a都是常数, 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+。。。f(n)(a)/n!*(x-a)n+。。。

实用幂级数:

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+。
  。。+xn/n!+。。。

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-。。。(-1)k-1*xk/k+。。。 (|x|  。。 (-∞  。。 (|x|   (x≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+。。。(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+。。。 (-∞  。。 (-∞  。 (|x|  。∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π。。-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π。。-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π。。-π) (f(x)sinnx)dx。

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  • 女生怎样弄个好看到发型

    发型:
    有空气感的蓬松懒卷或大卷——柔美的中长卷发依然大放光彩,又加入了蓬松的空气感元素。


       eg:螺旋卷长发利用螺旋的优美线条来转移视线吧!遮着眉毛的刘海不能过于厚重,螺旋的卷发形状尽量保持长形,脸颊两侧稍稍修出蓬起来的弧度,小脸的同时拉长了脸形。


     


    可爱波波头——自从JONLIN《特务J》推出后,街头多了很多波波头。今年这个势头也没有减弱。


    苹果头——波波头 的变化版,很可爱。


    沙宣头——经典的沙宣版发型哦。


      eg:BOBO头想变化,烫是比较直接的,如果不想烫又想留长只能修一修,前面剪点层次。如果到肩向外翻翘第一个方法是吹,第二是发稍向内做定位,第三就是扎辫子 把蓬松的两侧和后面拉直点打薄点,不用全直变沙宣,要营造出自然稍有空气感就可以了,刘海可以修得有点弧形,稍微用点边分,不明显的那种,前额不是全一圈圆的下去了,重点依然是自然。就是英伦风格的那种感觉,有点孩子气的又有点怀旧的,可以在沙宣基础上改也可以在BOBO基础上改。


     


    梨花头——流行发式,中短发,发型类似梨形,由日本兴起。


    顺直荷叶头——头顶部分顺直 发尾蓬松带卷的发型


       eg ;齐刘海梨花头--很多mm都对齐刘海爱不释手,但碍于是圆脸只能望而却步,两侧美发足够蓬松就可以了,而且中发的长度和A字形也可以有效小脸。


     


    层次短发——很张扬,很野性的直发和卷发自由混搭——可爱与成熟,女孩与女人,你可以同时做到。我现在的发型,很满意哦。



    色彩:


    染了看不出来——酒红色,或深栗色。如果色差不是很大,不在光线直射下是非常不明显的,在阳光或一些光线稍强的地方会显现出明显效果。选择目标色与头发本色度数接近的染膏,东方人发色是3度,您选择4度或5度的就可以。


    低调点的——今年不论男女都流行铜色 不信去大街上数数 很多哟~~


    回头率高点的——绿色 但不是每个人都适合哦


    我个人喜欢的——巧克力色 很好看。真的很好看,嘿嘿


    另外,也可以混搭哦。但切忌不要太乱了,要讲究层次,和协调感



     



    如果希望有健康的黑发建议您在洗头发的时候把洗发露中加入少许生姜末或用生姜浸泡过的水洗头发,您也可以用啤酒洗头发,啤酒与水的比例是1:5.(一般平均一个月会长2cm-3cm)但若您还说长得不够快那么您可以在洗头发的时候用生姜片多擦拭几遍头皮,一般建议最好一天擦拭2-3遍,擦完后要多按摩头皮几次,(这样您的头发的一个月会长长3cm-5cm左右。)最好建议楼主每天使用1两核桃仁和1两甜杏仁和黑芝麻,(要想您的头发变好那么就请您天天都吃)这样您的头发即会长得快、又会使头发乌黑、不分叉、不干燥、更不易断、更不易使头发打结,会使您的头发越长越密,发质变得越来好

    ...

  • 怎么自己染头发?

      自己染发。
      首先你要选好染发膏。其实,除了手艺不行工具不方便不全面之外,我们自己买的染发膏通常要比理发店的染发膏好一些,因为理发店可是暴利行业啊。
      当然你选的时候也要选刺激性小,最好是天然植物的。别忘了是免烫的。一般我们要是在理发店染发,最便宜的也要三五十,可是三五十已经可以买到比理发店里这个价位好不少的染发膏了,而且可能可以用不止一次。
      其次,准备好工具。你至少需要准备的东西如下:
      梳子,两把,一把细齿一把宽齿;
      小刷子,买不到可以用细齿梳代替;
      染膏盒,可以用纸杯;
      扁嘴大发夹,至少三个,分层涂抹时候夹头发;
      一次性手套,防止弄到手上,很难洗;
      一次性耳罩;
      一次性浴帽,涂完之后戴上;
      油性大的面霜,在靠近发际线的地方涂厚;
      围裙,涂的人用的;
      披巾,被涂的人用的。
      再然后,就是涂的过程记得在家染发最好是先中分,然后往一方慢慢分层涂匀到鬓角,然后另一方分层涂匀到鬓角。这样可以涂完约三分之二。然后将涂完的头发夹好。脑后位置由上到下分层慢慢涂抹,每涂好一层将头发夹向上,直到涂完颈后线。
      最后,戴上一次性浴帽等待,具体时间看染发膏说明。再洗掉就好了。

      注意事项:
      1.染发前应是干发。
      2.不能洗完头发吹干立即染发。
      3.染发过程不要拉得太长,否则先染完的地方跟最后染完的地方颜色容易不匀。
      4.避开伤口。

    ...

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    到 这个网站看一下吧,那是一个在线发型设计软件,里面有很多的流行发型,注册之后就可以上传自己的照片,然后可以套用里面的发型,可以很直观明了的看到效果

    男生怎么弄发型?

    注意清洁头发,特别控油,晚上洗头,也不要天天洗;
    用吹风机把头发从根部开始吹蓬松,让头顶饱满看起来饱满即可
    ——这是比较简单的日常用法

    男士头发礼仪:男士发型的几种类型

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      ◎圆头式:又称圆顶头或小圆头。特点和平头式相似,但顶部头发呈圆形。
      ◎平圆式:又称平圆头。特点是吸取平头和圆头两者的特点综合而成,周围头发有层次色调,顶部呈平圆形。
      ◎游泳式:又称运动式,是在平圆头基础上发掘起来的,顶部头发较平圆头为长,周围轮廓上部呈球形,层次较低,色调较深,短发具有长发感觉,适合青年、中年和运动员。
      2.中长发、长发类发型这两类发型发式基本相同,只是留发长短有所区别,有的是直发剪吹,有的是烫发梳理。
      具体发式主要有以下几种:
      ◎青年式:是青年的主要发式,特点是留发较长,一般边分头路,大边头发隆起,小边头发向后梳、线条流畅、轮廓饱满,显得健美英俊,富有时代青年的朝气。青年式可留中长发或长发,也有中长发、中层次、浅色调和长发、低层次、深色调的变化。
      ◎波浪式:通过烫发或吹梳而成,整个发式呈波浪形线条结构,有分头路不分头路、大波小波等变化,一般倾向柔和的波浪,线条活泼,发丝自然,具有现代男性潇洒的美感。
      ◎青年波浪式:其设计是综合青年式、波浪式特点而成,边分头路,大边呈波浪荡形、小边呈曲线向后梳,线条流畅,造型优美,具有英俊潇洒的男性美。
      ◎自然式:特点是留发中长,顶部头发较长,向前披垂,形成稀疏自然的笔尖形,两侧和后部头发向上轧剪,形成自然坡差层次,整个发型,线条柔和,发丝自然平服,简洁大方、自然。
      ◎中分式:特点是留发中长,中间分头路,额前头发从头路梳向两侧,发根站立蓬松自然,两侧和后部头发向上轧剪,有一定层次和色调。
      ◎蘑菇式:特点是顶部头发较多较厚,形成蘑菇形轮廓,两侧和后部头发向上轧剪,有自然参差层次。蘑菇形轮廓比女子蘑菇式为小,发式轮廓线也不太明显,也是目前较为流行的男子发型这一。
      ◎奔式:特点是留发较长,边分头路,大边头发呈鸭舌帽形向前冲,两侧头发向后梳,在后部中心会合,线条流畅,造型别致,具有男性健美感。
      ◎中年式:留发中长,可分头路和不分头路,分头路要略高些。发丝向后斜梳,轮廓略为饱满,两侧及后部头发和上轧剪,体现一定的层次和色调,端庄大方,具有整洁感和时代感。
      此外,商务男士不宜留长发、不烫发、不染发。这种整洁的发型适合于任何场合。   文章来源:网络收集

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  • 跪求:能让头发在一个月内长5里面的方法.

    试着用啤酒洗头。会促进新陈代谢。
    头发不是洗的勤快就能长的。主要和身体的新陈代谢有关。
    新陈代谢快,头发的生长速度也就快。
    头发是人体死去的角质蛋白构成。所以,只要代谢快就可以了。。
    没有必要那么辛苦去吃这个那个。。
    不过啤酒真的可以促进新陈代谢。。

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  • 白头发多是肝脏不好吗?

    大家好,我是医疗工作者张,是一名执业医师,可以为大家普及一下健康知识,若想了解更多,请关注我!

    现在好多年轻人都有白头发,这到底是怎么回事呢?

    白头发是怎么产生的呢?

    决定头发颜色的是头发中色素颗粒的多少,后者与发根乳头色素细胞的发育生长情况有关。头发由黑变白,一般是毛发的色素细胞功能衰退,当衰退到完全不能产生色素颗粒时,头发就完全变白了。正常人从35岁开始,毛发色素细胞开始衰退。但也有一些人,十几岁或者二十几岁就长了很多白头发,这都是后天一些因素导致的。

    年青人的白发有哪些因素导致的呢?

    精神因素:有些人经常忧郁、精神压力大、劳累过度,都可以导致头发变白,科学研究也表明,情绪和精神状态对人的身体影响确实非常明显。 营养因素:头发的生长需要营养。人种不同,发色也不同。白种人的发色是金黄的,棕种人的发色是红黑的,我们黄种人,因为头发的色素颗粒中含有铜、钻、铁,所以是褐黑色的;如果饮食中长期缺乏铜、钴、铁这些无机盐,自然会影响黑色素的合成,使头发由黑变白。据医学临床观察证明,如果身体长期缺乏蛋白质、植物油、维生素B1、维生素B2、维生素B6,也会导致头发由黑变白。 病理因素:导致白发还有很多其他的因素,如疾病、药物和遗传。脑垂体机能下降、甲状腺机能亢进等内分泌紊乱,结核、伤寒、恶性贫血等消耗性病症,植物神经功能障碍等,均是已发现的与头发由黑变白有关的疾病。

    中医里对不同部位的白发也有代表意义前额白发 脾胃失调 前额对应的反射区是脾胃,脾胃不好的人常常腹胀、腹痛、胃酸,口淡不渴、四肢不温、大便稀溏。还有的人经常伴有口臭、食欲过旺,或四肢浮肿、畏寒喜暖、小便清长或不利,这些都是脾胃虚寒的症状。两鬓斑白 肝火旺盛 两鬓对应的反射区是肝胆,肝胆火偏盛的人或者脾气暴躁或者爱生闷气,常伴有口干、口苦、舌燥,眼睛酸涩等,这是由肝胆火旺引起,进而致使脾胃受伤。后脑勺白发 肾气不足 后脑勺对应的反射区是膀胱。常伴有尿频、遗尿或尿失禁、小便不畅等症状。因为膀胱的主要功能是贮尿和排尿,所以,这类患者较之常人不易憋尿。而膀胱的排尿功能和肾功能有密切关系。总结:有白头发不一定就是肝脏不好,和许多营养因素以及个人的情绪都息息相关。欢迎大家留言评论,觉得写得不错的话,记得点个赞哦!如果还想了解其他健康知识,关注我,私信为你解答!

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